“Good Will Hunting” filmini izleyenler hatırlayacaktır; bir üniversitenin koridorlarında çözülemeyen bir matematik denklemi tahtaya yazılır ve kimse çözemez. Ta ki temizlikçi olarak çalışan dahi Will Hunting bunu başarana kadar…

Sinema tarihinde yer etmiş bu sahne, yıllardır çözümü mümkün görülmeyen matematik problemlerini anlatan güçlü bir metafordur. Ancak bu kez, benzer bir problem gerçek hayatta bilim insanları tarafından ele alındı ve ciddi bir ilerleme kaydedildi.

Matematiğin en eski problemlerinden biri: Beşinci derece ve üzeri polinomlar

Uzun yıllardır matematikçiler ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden polinom denklemlerini çözmenin yollarını biliyor. Fakat beşinci derece ve üzeri polinomlar için genel geçerli bir çözüm formülü geliştirmek mümkün olmamıştı.

Bu durum, 1832 yılında ünlü Fransız matematikçi Évariste Galois tarafından matematiksel olarak kanıtlanmıştı. Galois, beşinci dereceden itibaren polinomların geleneksel cebirsel yöntemlerle çözülemeyeceğini ispatlamıştı. O günden bu yana, bu alan matematikçilerin sınırlarını zorladıkları prestijli bir mücadele alanı oldu.

200 yıl sonra yeni yaklaşım: Wildberger ve Rubine’in çözümü

2025 yılında, New South Wales Üniversitesi Fahri Profesörü Norman Wildberger ve bilgisayar bilimci Dr. Dean Rubine, bu klasik problemi farklı bir açıdan ele alarak yeni bir yöntem geliştirdi. Bu yaklaşım, radikal sayı kökleri (karekök, küpkök vs.) gibi irrasyonel kavramlara dayanmak yerine, güç serileri ve geometrik desenlerle çözüme ulaşıyor.

Wildberger, irrasyonel sayıların sonsuz ve tekrarlanmayan doğasının hesaplamayı imkansız hale getirdiğini savunuyor. Bu yüzden geliştirilen yöntem, sonsuz terimli polinomlar (güç serileri) aracılığıyla yaklaşık çözümler üreterek, irrasyonel sayılarla uğraşmadan sonuca ulaşmayı hedefliyor.

Catalan sayılarından hiper-catalanlara…

Bu yaklaşımın temelinde Catalan sayıları yatıyor. Catalan sayıları, bir çokgenin kaç farklı şekilde üçgene bölünebileceğini gösteren özel bir sayı dizisidir. Bu dizinin ikinci derece polinomlarla ilişkisi uzun zamandır biliniyor.

Ancak Wildberger ve Rubine bu kavramı genişleterek, dörtgen, beşgen gibi çokgenleri de dahil eden “hiper-Catalan” sayı dizilerini tanıttılar. Bu yeni diziler, çokgenlerin yüz sayılarına göre katmanlı seriler oluşturarak, polinomlar için benzersiz geometrik desenler ortaya koyuyor.

Bu sayısal desenlerden yola çıkarak araştırmacılar, Jeot (The Geode) adını verdikleri yeni bir sayı kümesi keşfettiler. Bu küme, Catalan sayılarının ardındaki gizemli düzenin daha geniş bir yorumunu temsil ediyor.

Bu yeni yöntem, klasik cebirin köklere dayalı çözüm mantığından uzaklaşıp, geometrik desenleri ve seri hesaplamaları temel alan alternatif bir çözüm paradigması sunuyor. Eğer bu yaklaşım daha da geliştirilirse, cebirsel çözüm yöntemlerinin yeniden tanımlanmasına neden olabilir.

Hocam, bu bilgiler gerçek hayatta ne işimize yarayacak?

Belki de en sık sorulan ama cevabı en az anlaşılan soru burada başlıyor: “Bunun bize ne faydası olacak?” Kısa vadede, günlük hayatınızda gözle görülür bir değişiklik yaratmayacak. Fakat mühendislikten yapay zekaya, 3D grafik tasarımından uzay araştırmalarına kadar birçok alanda bu tür denklemler sürekli karşımıza çıkıyor.

Örneğin, gelecekte karşılaşacağınız yeni nesil bir video oyunu, daha gerçekçi bir yapay zeka uygulaması veya benzersiz bir mimari yapı, arka planda bu matematiksel yöntemlerle çözülmüş problemlerin ürünü olabilir. Uzay çalışmalarında, karmaşık hesaplamalarda ya da bilgisayar grafiklerinde bu yöntemlerin sağladığı avantajlar zamanla somut şekilde hayatımıza yansıyacak.

UNSW’de geliştirilen bu yeni yaklaşım, matematiğin temel taşlarını sarsmadan, çözülmesi imkansız görülen problemlere farklı bir pencere açıyor. Belki de Good Will Hunting’deki o meşhur denklem gibi, problemlerin bu kez gerçek hayatta farklı bir çözüm yoluyla aşılması mümkün olacak.